数学小发现 五（3） 杨修齐

       在很早以前，我在做作业时便觉得a×a=(a-1)(a+1)+1。可我那时只是猜想，并没有证明，所以我把这个发现告诉了我们的数学李老师。数学李老师同意了我的说法，所以我想证明一下。

        我想：a×a要是要转换成(a-1)乘几的形式，(a-1)a会在a×a的基础上少一个“a”，再把另一个数“a”转化成(a+1)的形式，会增加一个(a-1)。少一个“a”，多一个“a-1”，也就是减少了“1”。所以a×a=(a-1)(a+1)+1。

        之后，我变好奇的又想：既然a×a=(a-1)(a+1)+1，那么a×a可不可以等于(a-2)(a+2)+一个数的形式？我按照刚才的思路，又想了一遍：a×a要是要转换成(a-2)乘几的形式，(a-2)a会在a×a的基础上少两个“a”，再把另一个数“a”转化成(a+2)的形式，会增加两个(a-2)。少两个“a”，多两个“a-2”，也就是减少了“4”。所以a×a=(a-2)(a+2)+4。而我之前想加的数就是4。

         我越想越兴奋，又想试试减3看看最后那个数减的是几，可又一想，如果我把后面要加的数的规律找出来，想知道最后减的那个数是多少，轻而易举就能得到。我一看，就觉得奇怪了，为什么减2的那个会加4，而不是加2？按照规律，减的这个数应该是2才对。可我仔细一看，又仔细一想，终于知道答案了。原来1和4都是平方数，分别是1和2的平方，而(a-1)的那个减的就是1的平方，因为是两个数相乘。第二个减的是2，也是乘法，所以减的也是二的平方。

       知道了这些后，我欣喜若狂，像是得了诺贝尔奖似的，拿了一个新本子，把我的“新发现”记了下来，希望下次还能有什么“新发现”能记下来。