四（3）班 于浩然 欧几里得第五公设（平面公设）

欧几里得第五公设又名平行公设，是由欧几里得在《几何原本》的第一章：几何基础中的公设部分的第五个，所以叫做欧几里得第五公设。

    欧几里得第五公设的内容是：如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角和的一侧相交。而欧几里得第五公设的意思又等于“过平面上直线外的某一点，有且只有一条与该直线不相交的直线”而这句话叫做平行公设。

    和本文标题一样，本文是证明欧几里得第五公设的三个解，那么这三个解分别是哪三个解？它们是欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何、黎曼几何。

欧氏几何的解:因为欧氏几何是平面的，所以过平面上直线外的某一点，有且只有一条与该直线不相交的直线。

    罗氏几何的解：因为罗氏几何是马鞍面的，所以过平面上直线外的某一点，没有一条与该直线不相交的直线。

    黎氏几何的解：因为罗氏几何是球形的，所以过平面上直线外的某一点，有无数条与该直线不相交的直线，也有无数条与该直线相交的直线。

    根据上文可以得知欧几里得第五公设可以解，但有三种解。