四年9班 罗语芊《巧解奥数题》

今天早上，爸爸在网上看到了一道题，心血来潮，说要考考我。这道题是这样的：N为自然数，且N+1，N+2，……，N+9与690都有大于1的公因数，N的最小值是多少？

看到这道题的第一反应，我懵了，这是啥？我在哪？妈妈看到后说：“别急，先看看题目说的啥？再想想它该从哪入手。”首先，我和妈妈一起回忆了一下公因数的定义：

几个数都有共同的因数，那么这个因数便是这几个数的公因数。

妈妈告诉我，我们应该从定义入手，首先要求出690有哪些质因数，我提议用短除法分解690，最终得出：690=2*3*5*23。由此可见，N+1，N+2，……，N+9这些数必然含有2,3,5,23中的一个或多个因数。妈妈说考虑到因数2的特殊性，我们可以先把N+1，N+2，……，N+9这些数分成两组，一组是偶数，一组是奇数，其中偶数必然包含因数2，所以我们可以不对偶数做进一步分析，只分析奇数即可。从连续9个自然数的奇偶性来看，这9个数中可能有5个奇数与4个偶数或者有4个奇数与5个偶数。那么我们来分析一下：

假设1：假如N+1，N+2，……，N+9中N+1,N+3，N+5，N+7，N+9是奇数

由此可见，N+2，N+4，N+6，N+8是偶数，偶数必然含因数2,而奇数必然不含因数2，那么N+1,N+3，N+5，N+7，N+9这些数必然包含因数3或5或23。

假如N+1包含因数3，那么N+7必然包含因数3，那么N+3,N+5,N+9中必然包含因数5。

假如N+3是5的倍数，那么N+5,N+9必然不是5的倍数，那么他们必然是23的倍数，但是N+5,N+9只相差4，因此他们必然不可能同时是23的倍数，因此“假如N+1，N+2，……，N+9中N+1,N+3，N+5，N+7，N+9是奇数，”这个假设不成立。

假设2：假如N+1，N+2，……，N+9中N+2，N+4，N+6，N+8是奇数

由此可得，N+1,N+3，N+5，N+7，N+9是偶数，偶数必有因数2，所以必然满足题目条件，那么我们来进一步分析N+2，N+4，N+6，N+8。这些数中，假如N+2是3的倍数，那么N+8也必然是3的倍数，那么N+4及N+6中必有一个数是5的倍数，另一个数是23的倍数。

假如N+6=23（因题目需求N最小值），那么N=17,那么N+4=21,21不是5的倍数，所以N≠23。

假如N+4=23,那么N=19，那么N+6=25,25是5的倍数，所以N=19时，“假如N+1，N+2，……，N+9中N+2，N+4，N+6，N+8是奇数”假设成立。

所以，N=19。

在爸爸妈妈的帮助下，我终于解出了这道题，感觉特别有成就感。而且通过对数学的学习，也让我发现其实数学是一个很奇妙的世界，你可以通过抽丝剥茧、层层深入找到谜题的最终解，就像在寻宝之旅中最终找到了打开宝藏大门的钥匙，那种成就感简直太美妙了！